在讲解递归函数之前我们先了解一下栈堆

单独讲栈堆是数据结构

  • 栈:后进先出的一种数据结构
  • 堆:排序后的一种树状数据结构

栈区堆区是内存空间

  • 栈区:按照后进先出的数据结构(栈),无论创建或销毁都是自动为数据分配内存 ,释放内存(系统自动做的)
  • 堆区:按照排序后的树状数据结构(堆) ,可优先取出必要数据,无论创建或销毁都是手动分配内存,释放内存(程序员手动做的)
  • 内存中的栈区: 自动分配 自动释放
  • 内存中的堆区: 手动分配 手动释放

运行程序时在内存中执行 ,会因为数据类型的不同而在内存的不同区域运行,因不同语言对内存划分的机制不一,但大体来讲 ,有如下四大区域:

  • 栈区:分配局部变量空间 。
  • 堆区:是用于手动分配程序员申请的内存空间 。
  • 静态区(全局栈区):分配静态变量,全局变量空间。
  • 代码区(只读区,常量区):分配常量和程序代码空间的。

栈区 堆区 静态区 代码区 都是内存中的一段空间

递归函数

在函数内部 ,可以调用其他函数 。如果一个函数在内部调用自身本身,这个函数就是递归函数。

举个例子,我们来计算阶乘

n! = 1 x 2 x 3 x ... x n
 ,用函数
func(n)
表示,可以看出:

func(n)=n!=1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)×n=(n−1)!×n=func(n−1)×n

所以,

func(n)
可以表示为
n x func(n-1)
 ,只有n=1时需要特殊处理。

于是 ,

func(n)
用递归的方式写出来就是:
def func(n):
    if n==1:
        return 1
    return n * func(n - 1)

上面就是一个递归函数 。可以试试:

print(func(1))
# 1

print(func(5))
# 120

print(func(100))
# 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算

func(5)
,可以根据函数定义看到计算过程如下:

递归函数的优点是定义简单,逻辑清晰。理论上 ,所有的递归函数都可以写成循环的方式,但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出 。在计算机中,函数调用是通过栈(stack)这种数据结构实现的 ,每当进入一个函数调用,栈就会加一层栈帧,每当函数返回 ,栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的,所以,递归调用的次数过多 ,会导致栈溢出。可以试试

func(1000)
print(func(1000))
'''
Traceback (most recent call last):
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 7, in <module>
    print(func(1000))
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
    return n * func(n - 1)
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
    return n * func(n - 1)
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 4, in func
    return n * func(n - 1)
  [Previous line repeated 995 more times]
  File "D:/python_project/mxxl/test/test.py", line 2, in func
    if n==1:
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
'''

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化 。

尾递归

事实上尾递归和循环的效果是一样的,所以,把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指 ,在函数返回的时候 ,调用自身本身,并且,return语句不能包含表达式。

这样 ,编译器或者解释器就可以把尾递归做优化,使递归本身无论调用多少次,都只占用一个栈帧 ,不会出现栈溢出的情况 。

上面的

func(n)
函数由于
return n * func(n - 1)
引入了乘法表达式,所以就不是尾递归了 。要改成尾递归方式,需要多一点代码 ,主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中:
def func(n):
    return func_iter(n, 1)

def func_iter(num, product):
    if num == 1:
        return product
    return func_iter(num - 1, num * product)

可以看到,

return func_iter(num - 1, num * product)
仅返回递归函数本身,
num - 1
num * product
在函数调用前就会被计算 ,不影响函数调用。

func(5)
对应的
func_iter(5, 1)
的调用如下:

尾递归调用时,如果做了优化,栈不会增长 ,因此 ,无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是,大多数编程语言没有针对尾递归做优化,Python解释器也没有做优化 ,所以,即使把上面的

func(n)
函数改成尾递归方式,也会导致栈溢出 。
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