选址问题是要选择设施位置使目标达到最优,是数模竞赛中的常见题型。
小白不一定要掌握所有的选址问题,但要能判断是哪一类问题 ,用哪个模型。
进一步学习 PuLP工具包中处理复杂问题的字典格式快捷建模方法 。
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1. 选址问题
选址问题是指在某个区域内选择设施的位置使所需的目标达到最优。选址问题也是一种互斥的计划问题。
例如投资场所的选址:企业要在 m 个候选位置选择若干个建厂,已知建厂费用、运输费及 n 个地区的产品需求量 ,应如何进行选址 。
选址问题是运筹学中经典的问题之一,选址问题在生产生活、物流 、甚至军事中都有着非常广泛的应用,如工厂、仓库、急救中心 、消防站、垃圾处理中心、物流中心 、导弹仓库的选址等。更重要的 ,选址问题也是数模竞赛的热点问题。
选址是重要的长期决策,选址的好坏直接影响到服务方式、服务质量、服务效率 、服务成本等,从而影响到利润和市场竞争力 ,选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义 。
选址问题有四个基本要素:设施、区域 、距离和优化目标。
1.1 设施
选址问题中所说的设施,在具体题目中可以是工厂 、仓库、服务站等形式。
1.2 区域
选址问题中所说的区域,在具体题目中可以是工厂、车间的内部布局 ,也可以是给定的某个地区 、甚至空间范围 。
按照规划区域的特征 ,可以分为连续选址问题和离散选址问题。连续选址问题,设施可以布局在区域内的任意位置,就要求出最优选址的坐标;离散选址问题 ,只能从若干候选位置中进行选择,运筹学中的选址问题通常是这类离散选址问题。
1.3 距离
选址问题中所说的距离,是指设施到服务对象之间的距离 ,在具体题目中也可以是某个选址位置的服务时间、成本、覆盖范围 。如果用图论方法求解,通常就是连接顶点的边的权值 。
当问题所关注的是设施到服务对象之间的距离时,如果问题给出的不是顶点之间的距离 ,而是设施的位置坐标,要注意不是只有欧式距离,对于不同问题也可能是球面距离 、曼哈顿距离、切比雪夫距离。
1.4 优化目标
选址问题要求选择最好的选址位置 ,但选址位置只是决策变量,选择的最终目的通常是实现加权距离最短、费用最小 、利润最大、时间最短,这才是优化问题的目标函数。
按照目标函数的特点 ,可以分为:中位问题 ,要求总成本最小;中心问题,服务于每个客户的最大成本最小;反中心问题:服务于每个客户的最小成本最大 。
2. 常见选址问题及建模
2.1 P-中位问题(P-median problem)
P-中位问题,假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点 ,要从 N 个候选服务站中选择 P 个,使所有需求点到最近的服务站的加权距离 \(d_{ij}\) 的总和最小。需求点 i 的权值,通常是指该需求点的需求量。
这是一个 MinSum 问题 ,定义决策变量 \(x_j\) 为选中的服务站,\(y_{ij}\) 将各需求点匹配到最近的服务站:
可以建立数学模型如下:
其中:j 为服务站,i 为需求点 ,\(w_i\) 为需求点 i 的需求量 , \(d_{ij}\) 为需求点 i 到服务站 j 的距离 。
2.2 P-中心问题
P-中心问题,假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点,要从 N个候选服务站中选择 P个 ,使任一需求点到最近的服务站的最大距离最小。
这是一个 MinMax 问题,需要最小化任何需求点与其邻近设施点的最大距离。P-中位问题追求总和最小,可以理解为发展经济总量优先;P-中心问题关注最差个体的最好结果 ,可以理解为优先进行扶贫 。
定义决策变量 \(x_j\) 为选中的服务站,\(y_{ij}\) 将各需求点匹配到最近的服务站:
可以建立数学模型如下:
其中:j 为服务站 ,i 为需求点, \(d_{ij}\) 为需求点 i 到服务站 j 的距离。如果只求需求点到最近的服务站的最大距离,则 \(w_i = 1\) ;如果要求任一需求点到最近的服务站的最大运费 ,则 \(w_i\) 为需求点 i 的需求量 ,即加权最大距离。
2.3 集合覆盖问题
覆盖模型适用于一些特殊场景,例如消防中心、救护车 、巡逻车等应急设施的区位选址问题 。覆盖问题分为集合覆盖问题(Set covering problem)和最大覆盖问题(Maximal covering problem)。
集合覆盖问题研究满足覆盖所有需求点顾客的前提下,服务站的最少个数或建设费用最小的问题。假设有 N 个候选服务站和 M 个需求点 ,已知每个服务站的服务范围(或服务容量),要从 N个候选服务站中选择若干个,使所有需求点得到服务(到所属服务站的距离或时间小于给定的临界值) ,服务站的个数最少或成本最小 。
定义参数 \(a_{ij}\) 为每个服务站的覆盖范围:
定义决策变量 \(x_j\) 为选中的服务站:
可以建立数学模型如下:
其中:j 为服务站,i 为需求点 ,\(c_j\) 为服务站 j 的建设费用(最少个数问题中不需要考虑),\(N_i=\{j:a_{ij}=1\}\) 是覆盖需求点 i 的候选服务站的集合 。
2.4 最大覆盖问题
最大覆盖问题研究在已知服务站的数目和服务半径的条件下,如何设立 P个服务站使得可接受的服务需求最大的问题。
定义决策变量 \(x_j\) 为选中的服务站:
可以建立数学模型如下:
其中:j 为服务站 ,i 为需求点,\(w_i\) 为需求点 i 的需求量。
2.5 其它选址问题
其它选址问题,在数学建模中应用相对较少 ,限于篇幅不能逐一介绍其数学模型 。在此将各模型的特点简要介绍,以便判断问题的类型。
带固定费用和容量限制的选址问题
服务站建站的固定费用和服务站的容量(能力)限制这两个因素具有很强的实际意义,经常作为基本选址问题的深化研究课题。
无容量限制的固定费用下的选址问题 ,就是去掉服务站个数的约束,并将固定建站费用加到 P-中位问题的目标函数上 。
选址分配问题
选址分配问题类似于 P-中位问题,有 m 个服务站需要选址 ,n 个已知位置的顾客分配给不同的设施,已知每个服务站的能力和每个顾客的需求,要求服务站的选址和顾客对服务站的分配 ,使顾客与所分配服务站的距离总和最小。
随机选址问题
服务站的运行时间、建设成本、需求点位置 、需求数量等全部或部分参数是不确定的 ,但服从某种随机分布。
动态选址问题
研究未来若干时间段内服务站的最优选址问题,在不同时间段内动态选址模型的参数是变化的,但在某一时间段内模型参数是确定的 。
竞争选址问题
研究考虑市场上存在两个以上同类产品或服务的提供者 ,或服务站提供多个产品或服务。
2.6 选址问题的求解算法与编程实现
设施选址问题通常是是 NP 问题,不存在多项式时间算法。常用的近似解法有:
线性规划舍入算法,相当于整数规划问题的求解算法 。首先给出原问题的整数规划模型 ,然后求解相应的线性规划松弛问题得到分数最优解,根据可行要求对分数最优解进行改造,构造原问题的整数可行解。
原始对偶算法 ,首先找到对偶问题的一个可行解,再根据该对偶可行解构造原始问题的整数可行解,不断调整对偶问题的可行解 ,直到找到最优解为止。
局部搜索算法:给定初始可行解,定义适当的邻域,通过引入恰当的调整策略 ,在邻域中得到改进的可行解 ,依次迭代,直到调整策略不能改进为止
启发式算法或随机优化算法 。
本节作为线性规划问题系列的一篇,仍然选择 PuLP工具包求解选址问题 。很多选址问题适合用图论方法描述和求解 ,这将在后续课程中进行介绍。
3. 案例 1:PuLP求解指派问题
说明:本案例是指派问题,不是选址问题。因指派问题未单独成文,因此将该案例放在本文中 。
另外 ,本案例给出了 PuLP 工具包使用字典方式快捷编程的使用方法,这在选址问题中是非常方便的。
3.1 游泳接力赛的指派问题
游泳队中 A 、B、C、D 四名运动员组成 4x100米混合泳接力队,运动员各种泳姿的成绩如下表所示:
队员\项目 | 自由泳 | 蛙泳 | 蝶泳 | 仰泳 |
---|---|---|---|---|
A | 56 | 74 | 61 | 63 |
B | 63 | 69 | 65 | 71 |
C | 57 | 77 | 63 | 67 |
D | 55 | 76 | 62 | 62 |
如何安排 A 、B、C、D 四名运动员的泳姿 ,才最有可能取得好成绩?
3.2 指派问题建模分析
引入 0-1 变量 \(x_{ij}\):
指派问题的数学模型就可以描述为:
其中:
3.3 指派问题模型求解的编程
模型求解 ,用标准模型的优化算法对模型求解,得到优化结果。模型求解的编程步骤如下:
(0)导入 PuLP库函数
import pulp
(1)定义一个规划问题
AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize)
pulp.LpProblem 用来定义问题的构造函数 。参数 sense 指定问题求目标函数的最小值/最大值 。
(2)定义决策变量
rows = cols = range(0, 4) x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary")
pulp.LpVariable 用来定义决策变量的函数。参数 cat 设定变量类型,' Binary ' 表示 0/1 变量 。
注意 ,指派问题 、选址问题中都涉及 N*M 维矩阵变量,变量个数很多,如果逐一定义非常冗长 ,而且容易出错、不便修改。本例使用 pulp.LpVariable.dicts 提供的字典格式定义了 4*4 个变量 \(x_{ij}\),使程序大为简化。
(3)添加目标函数
scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]] AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols])
本例程在语句内使用两重 for 循环遍历列表实现所有变量的线性组合 ,使程序大为简化 。
(4)添加约束条件
for row in rows: AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4 for col in cols: AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4
快捷方法对于约束条件的定义与对目标函数的定义相似 ,使用字典定义参数,使用循环定义约束条件,使程序简单、结构清楚。
(5)求解和结果输出
AssignLP.solve() # youcans print(AssignLP.name) member = ["队员A","队员B","队员C","队员D"] style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"] if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal": # 获得最优解 xValue = [v.varValue for v in AssignLP.variables()] # [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0] xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4)) # 将 xValue 格式转换为 4x4 矩阵 print("最佳分配:" ) for row in rows: print("{}\t{} 参加项目:{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])])) print("预测最好成绩为:{}".format(pulp.value(AssignLP.objective)))
xValue 获得的是列表变量 ,通过 numpy 的 reshape() 函数转换为 4*4 矩阵,便于格式化输出。
3.4 指派问题 Python 例程
# mathmodel08_v1.py # Demo08 of mathematical modeling algorithm # Solving assignment problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated:2021-06-02 # Python小白的数学建模课 @ Youcans import pulp # 导入 pulp 库 import numpy as np # 主程序 def main(): # 问题建模: """ 决策变量: x(i,j) = 0, 第 i 个人不游第 j 种姿势 x(i,j) = 1, 第 i 个人游第 j 种姿势 i=1,4, j=1,4 目标函数: min time = sum(sum(c(i,j)*x(i,j))), i=1,4, j=1,4 约束条件: sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4 sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4 变量取值范围: x(i,j) = 0,1 """ # 游泳比赛的指派问题 (assignment problem) # 1.建立优化问题 AssignLP: 求最小值(LpMinimize) AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize) # 定义问题,求最小值 # 2. 建立变量 rows = cols = range(0, 4) x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary") # 3. 设置目标函数 scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]] AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols]) # 4. 施加约束 for row in rows: AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4 for col in cols: AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4 # 5. 求解 AssignLP.solve() # youcans # 6. 打印结果 print(AssignLP.name) member = ["队员A","队员B","队员C","队员D"] style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"] if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal": # 获得最优解 xValue = [v.varValue for v in AssignLP.variables()] # [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0] xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4)) # 将 xValue 格式转换为 4x4 矩阵 print("最佳分配:" ) for row in rows: print("{}\t{} 参加项目:{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])])) print("预测最好成绩为:{}".format(pulp.value(AssignLP.objective))) return if __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPT main() # Python小白的数学建模课 @ Youcans
3.5 Python 例程运行结果
Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution found Assignment_problem_for_swimming_relay_race 最佳分配: [0. 0. 1. 0.] 队员A 参加项目:蝶泳 [0. 1. 0. 0.] 队员B 参加项目:蛙泳 [1. 0. 0. 0.] 队员C 参加项目:自由泳 [0. 0. 0. 1.] 队员D 参加项目:仰泳 预测最好成绩为:249.0
4. 案例 2:PuLP求解选址问题
4.1 消防站的选址问题
例题 2:某城市有 8 个区 ,每个区最多建一个消防站 ,拟建设消防站到各区的最长时间如下表所示 。现要求任何区域发生火警时,消防车能在 10分钟内赶到 。在此条件下尽量减少消防站数量,应该在哪几个区建设消防站?
区域 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 7 | 12 | 18 | 20 | 24 | 26 | 25 | 28 |
2 | 14 | 5 | 8 | 15 | 16 | 18 | 18 | 18 |
3 | 19 | 9 | 4 | 14 | 10 | 22 | 16 | 13 |
4 | 14 | 15 | 15 | 10 | 18 | 15 | 14 | 18 |
5 | 20 | 18 | 12 | 20 | 9 | 25 | 14 | 12 |
6 | 18 | 21 | 20 | 16 | 20 | 6 | 10 | 15 |
7 | 22 | 18 | 20 | 15 | 16 | 15 | 5 | 9 |
8 | 30 | 22 | 15 | 20 | 14 | 18 | 8 | 6 |
4.2 选址问题建模分析
首先判断这是一个集合覆盖问题 ,要求从 8 个候选消防站中选择若干个,在所有需求点得到服务的时间都小于临界值 10分钟的条件下,选择消防站的数量最少。本问题不考虑各候选站点建设费用的差异 ,即不带权重。
定义参数 \(R_{ij}\) 为每个消防站的覆盖范围:
由拟建消防站到各区的最长时间表可以得到参数 \(R_{ij}\) 如下表:
区域 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
定义决策变量 \(x_j\) 为选中的服务站:
可以建立数学模型如下:
选址问题的模型求解,用标准模型的优化算法对模型求解 ,得到优化结果 。
模型求解的编程步骤与指派问题是一致的,且在例程中给出了详细的注释,就不再进行逐项解释了。
需要注意的是 ,选址问题的决策变量 、参数、约束条件的数量较大(N*M) ,如果对变量、约束条件逐个进行定义,编程过程将是非常冗长和痛苦的,因此需要使用列表 、字典等快捷方式进行定义。对于更大规模的问题 ,模型中的数据要通过读取数据文件获得,就更需要采用这种方式来编程 。
4.3 选址问题 Python 例程
# mathmodel09_v1.py # Demo08 of mathematical modeling algorithm # Solving set covering problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated:2021-06-06 # Python小白的数学建模课 @ Youcans import pulp # 导入 pulp 库 # 主程序 def main(): # 问题建模: """ 决策变量: x(j) = 0, 不选择第 j 个消防站 x(j) = 1, 选择第 j 个消防站, j=1,8 目标函数: min fx = sum(x(j)), j=1,8 约束条件: sum(x(j)*R(i,j),j=1,8) >=1, i=1,8 变量取值范围: x(j) = 0,1 """ # 消防站的选址问题 (set covering problem, site selection of fire station) # 1.建立优化问题 SetCoverLP: 求最小值(LpMinimize) SetCoverLP = pulp.LpProblem("SetCover_problem_for_fire_station", sense=pulp.LpMinimize) # 定义问题,求最小值 # 2. 建立变量 zones = list(range(8)) # 定义各区域 youcans x = pulp.LpVariable.dicts("zone", zones, cat="Binary") # 定义 0/1 变量 ,是否在该区域设消防站 # 3. 设置目标函数 SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j] for j in range(8)]) # 设置消防站的个数 # 4. 施加约束 reachable = [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]] # 参数矩阵,第 i 消防站能否在 10分钟内到达第 j 区域 for i in range(8): SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j]*reachable[j][i] for j in range(8)]) >= 1 # 5. 求解 SetCoverLP.solve() # 6. 打印结果 print(SetCoverLP.name) temple = "区域 %(zone)d 的决策是:%(status)s" # 格式化输出 if pulp.LpStatus[SetCoverLP.status] == "Optimal": # 获得最优解 for i in range(8): output = {'zone': i+1, # 与问题中区域 1~8 一致 'status': '建站' if x[i].varValue else '--'} print(temple % output) print("需要建立 {} 个消防站。".format(pulp.value(SetCoverLP.objective))) return if __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPT main() # Python小白的数学建模课 @ Youcans
4.4 Python 例程运行结果
Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution found SetCover_problem_for_fire_station 区域 1 的决策是:建站 区域 2 的决策是:-- 区域 3 的决策是:建站 区域 4 的决策是:建站 区域 5 的决策是:-- 区域 6 的决策是:建站 区域 7 的决策是:建站 区域 8 的决策是:-- 需要建立 5.0 个消防站
5. 小结
- 关于规划问题,我们从线性规划、整数规划、0-1规划到一些特殊类型问题 ,用 5节课进行了介绍,到这里就暂告一段落了。后面根据需要,可能还会讲非线性规划 ,实际上主要是非线性优化问题了 。
- 虽然各种规划问题的求解算法差别很大,但我们所用的编程实现方法都是基于 PuLP工具包,编程步骤都是一致的。
- 本系列集中体现了与其它课程的区别 ,没有展开讲算法的实现步骤 ,而是重点讲编程方法的选择 、建立模型方程的过程和编程实现的步骤,这主要是为了便于小白学习和掌握。
【本节完】
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